Ungefähr einen Monat Gehörtraining, Zwischenbericht

Vor 4-5 Wochen habe ich angefangen die App Functional Ear Trainer auf meinem Smartphone zu nutzen. Ich habe im Schnitt 4-5 Tage die Woche etwa 10-20 Minuten trainiert (meistens im Bus). Eine kleine Verbesserung ist festzustellen, und ich glaube (auch durch meine Beschäftigung mit dem Thema, raussuchen von Songs mit diesen Intervallen) dass ich mich ein wenig musikalisch verbessert habe.

Die groben Ergebnisse:

Im Detail:

Einige Statistiken, welche Töne wie verwechselt wurden:

C-Major (1 octave), c,d,e,f

c:95%
d:90%
e:75:%
f:74%

Verwechslung c (45):
0/0/100/0
Verwechslung d (53):
60/0/40/0
Verwechslung e (52):
15/31/0/54
Verwechslung f (50):

C-Major (1 octave), g,a,h,c: 81/75/98/89 Prozent
Verwechslung g (100): 0/84/0/16
Verwechslung a (100): 80/0/8/12
Verwechslung h (100): 0/50/0/50
Verwechslung c (100): 0/36/64/0

C-Major (1 octave), c,d,e,f,g,a,h,c‘: 91/97/78/75/53/59/84/91 Prozent
Verwechslung c (100): 0/0/0/0/22/67/11/0
Verwechlsung d (72): 0/0/0/50/0/0/50/0
Verwechslung e (75): 6/6/0/56/13/19/0/6
Verwechslung f (89): 0/0/45/0/36/18/0/0
Verwechslung g (79): 0/0/14/27/0/57/3/0
Verwechslung a (86): 3/0/20/11/60/0/6/3
Verwechslung h (70): 9/27/0/0/0/64/0/9

C-Major (many octaves), c,d,e,f,g,a,h,c‘: 88/87/83/74/32/41/49/88
Verwechslung c (75): 0/22/22/22/11/22
Verwechslung d (89): 0/0/18/0/0/0/82/0
Verwechslung e (77): 0/15/0/31/15/23/15/0
Verwechslung f (78): 5/5/30/0/55/5/0/5
Verwechslung g (89): 15/8/20/18/0/35/3/15
Verwechslung a (67): 15/0/28/31/21/0/5/15
Verwechslung h (73): 16/76/3/0/3/3/0/16

Not C-Major (1 octave): 86/96/78/75/39/48/79/86
Verwechslung 1st (89): 0/0/17/17/25/17/25/0
Verwechslung 2nd (53): 0/0/50/0/0/0/50/0
Verwechslung 3rd (42): 11/11/0/33/11/22/11/11
Verwechslung 4th (65): 6/0/75/0/19/0/0/6
Verwechslung 5th (51): 13/10/10/26/0/42/0/13
Verwechslung 6th (52): 4/4/22/15/48/0/7/4
Verwechslung 7th (49): 0/70/10/0/10/10/0/0

Not C-Major (many octaves): 79/80/74/74/46/36/72/79
Verwechslung 1st (53): 0/0/9/27/27/36/0/0
Verwechslung 2nd (36): 14/0/0/14/0/29/43/14
Verwechslung 3rd (50): 8/0/0/38/8/31/15/8
Verwechslung 4th (62): 0/0/50/0/44/6/0/0
Verwechslung 5th (62): 24/18/6/27/0/24/0/24
verwechslung 6th (47): 10/7/20/7/47/0/10/10
Verwechslung 7th (50): 14/79/7/0/0/0/0/14

Random Major (1 octave): 80/50/50/84/16/36/68/80
Verwechslung 1st (45): 0/0/11/0/22/67/0/0
Verwechslung 2nd (24): 17/0/8/17/17/17/25/17
Verwechslung 3rd (24): 25/8/0/25/8/33/0/25
Verwechlsung 4th (25): 50/0/25/0/25/0/0/50
Verwechslung 5th (18): 53/7/7/13/0/20/0/53
Verwechslung 6th (30): 21/16/26/5/16/0/16/21
Verwechslung 7th (19): 17/50/17/17/0/0/0/17

Random Makor (many octaves): 83/81/16/87/30/25/0/83
Verwechslung 1st (6): 0/0/0/0/0/100/0/0
Verwechslung 2nd (11): 0/0/0/0/100/0/0/0
Verwechslung 3rd (6): 40/0/0/0/40/20/0/40
Verwechslung 4th (8): 100/0/0/0/0/0/0/100/
Verwechslung 5th (10): 71/0/0/0/0/29/0/71
Verwechslung 6th (8): 17/33/0/0/33/0/17/17
Verwechslung 7th (1): 0/100/0/0/0/0/0/0

In Klammern steht jeweils wie oft dieser Ton abgefragt wurde, und die Angaben mit Backslash getrennt sind Prozentangaben.

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Neues Recording, Gitarrenteil von Incubus/Drive

Gerade zu einem Backing-Track aufgenommen, hier das Resultat.

Dazu einfach diesen Backing-Track abgespielt, mit dem Handy nd meinem T-Bone SC450 aufgenommen. Anschließend die WAV-Datei aus dem Backing-Track extrahiert, diese, sowie die Aufnahme vom Handy und dem Mikrofon, in Audacity importiert. So verschoben dass die Aufnahmen übereinstimmen (nach dem ersten Einzähler losgespielt) und anschließend alles zusammengefügt, wobei die T-Bone Mikrofon-Aufnahme auf dem linken und die vom S7 Edge-Mikrofon auf dem linken Kanal liegt. Das Spielen zu einem Backing-Track geht aber auch direkt in Audacity, siehe:

Bemerkung: Beim Zurechschieben fiel mir auf dass die Töne immer ganz komisch einsetzen, d.h. die Waveform steigt stetig an, und die ersten Geräusche klingen noch gar nicht sosehr nach dem Ton wenn man es isoliert abspielt, vielleicht mal so auf den Punkt schieben dass genau erst dann wenn man in der Waveform den Ton hört man auf den Klick landet und das Ergebnis vergleichen.

waveform_click

Smartphone als PC, Part II

Heute war ich im Media Markt und habe mir das Google Chromecast für 39 EUR geholt.

img_20170223_154814

Auf Arbeit an einen HDMI-Monitor angeschlossen, wunderbar ein Bild war sichtbar. Auf dem Handy Google Home installiert und ab gings mit der Installation, aber schon bald die erste Enttäuschung, dem Setup gefolgt (währendessen sich beim Handy mit dem durch die Dongle erzeugten WLAN verbindet), und dann sollte sich die Dongle mit dem externen WLAN verbinden. Aber sowohl eduroram als auch ZIMKFunkLAN und auch das WLAN von der Arbeitsgruppe Diehl funktionierten nicht.

Aber wie dem auch sei, so eine Lösung mit einem dritten WLAN war für mich eigentlich ohnehin nicht interessant. Es gibt zwar wohl Lösungen es ohne WLAN zu betreiben, aber diese nutzen wohl irgendwie ein drittes Gerät welches einen Hotspot erzeugt, was wieder viel zu umständlich ist.

How to use Chromecast without Wi-Fi: Making the most of Google’s streamer when travelling
Google Chromecast setup without WiFi?
Use chromecast 2 without wifi | Chromecast 2nd generation
Updated: How to use chromecast with mobile hotspot 1 phone without wifi internet

Die Lösung heisst hier wohl Miracast, nach Miracast: Everything to know about mirroring Android ist dies wohl auch ganz einfach:

With your Miracast dongle connected, switch your TV to its input. Then, grab your Android device, and go to Settings > Display > Wireless display. (As usual, this might vary a bit depending on your device.)

Miracast ist eine Art kabellose HDMI-Verbindung.

With Wi-Fi Direct as the foundation, it makes sense that Miracast doesn’t need to rely on your home’s network. Instead, it creates is own. For instance, your television creates the ad-hoc network, which is then discovered by your Android phone or tablet. Once the two devices are paired, data can flow freely between them.

Aber theoretisch dürfte es dann nicht möglich sein noch zeitgleich in seinem WLAN zu browsen?

Nach http://www.pocket-lint.com/news/133437-miracast-explained-how-is-it-different-from-chromecast-and-airplay unterstützt der Amazon Fire TV

Amazon’s Fire TV and the Fire TV Stick come with built-in Miracast support as well.

auch Miracast, sollte also unkompliziert laufen und denn gibt auch bei Media Markt, so dass ich das Chromecast hoffentlich umtauschen kann. Unter Fire TV: Miracast nutzen – so geht’s steht wie man es mit Fire TV einrichtet:

1. Wechseln Sie zunächst in die „Einstellungen“ Ihres Amazon Fire TV.
2. Öffnen Sie dort die Einstellungen „Töne und Bildschirm“.
3. Mithilfe der Funktion „Display duplizieren aktivieren“ können Sie Miracast aktivieren.
4. Im nächsten Schritt wird der Name des Fire TV angezeigt und auf die Verbindung gewartet.
5. Sie können nun auf Ihrem Smartphone unter „Bildschirm duplizieren“ nach dem angezeigten Namen suchen.
6. Tippen Sie auf den Namen des Amazon Fire TV, um ein Streaming via Miracast herzustellen.
7. Jetzt werden sämtliche Inhalte Ihres Smartphones übertragen und Sie können Apps starten

In diesem Video sieht man die Verzögerung!

Weitere Begriffe DLNA: what it is and what you need to know, aber wie Google Chromecast

As you might expect, DLNA hardware is designed to work on a home network.

Sowie AllCast, oder AnyCast (hat Prof Diehl empfohlen, dass geht wohl wie Miracast). Any Cast.

Teewe vielleicht noch eine Alternative?

EDIT (20:44): Habe es gegen einen Fire TV eingetauscht. Dieser möchte sich zuerst ins WLAN einloggen. Ist der Stick hochgefahren so klappt Miracast wie oben beschrieben wunderbar. Was passiert wenn kein WLAN da ist weiss ich nicht (Habe auf stackexchange mal gefragt ob man den Fire TV Stick auch ausschließlich als Miracast-Stick nutzen kann). Aber als Workaround habe ich auf meinem Handy mal alle Internet-Netze deaktiviert, und die App „Portable Wi-Fi hotsport“ konnte trotzdem einen Hotspot aufsetzen der auch vom Fire TV Stick erkannt wurde, und man eben auch in das Hauptmenü gelang). Also so könnte es vielleicht funktionieren wenn man gerade kein Wifi dabei hat.

Das Smartphone als PC

Ich plane mir ein neues Smartphone zuzulegen, und der Gedanke dieses auch als Notebook(-Ersatz) zu benutzen reizt mich. Also habe ich mich die letzten Tage mal nach den Möglichkeiten einen Monitor, Maus und Tastatur sowie weitere Peripherie wie Festplatten und USB-Sticks daran anzuschließen geschaut. Begriffe wie MHL, Slimport, USB-OTG, Windows Wireless Display, Chromecast, Miracast und so weiter tauchen in diesem Zusammenhang auf. Also eine ganze Menge wenn man davon vorher noch nichts gehört hat.

In dem Video Android als Desktop System Introduction wird das Nexus angesprochen, in dem Follow-Up-Video Smartphone als Desktop-PC Teil 2 nutzt er allerdings ein Sony Xperia mit MHL-Kabel, diese Videos sind von 2013. In den Videos

Using an Android phone as your home computer
Using an Android phone like a desktop PC – Linux Debian Noroot

wird ein S4 mit MHL benutzt, sowie Debian für ein „Desktop-Erlebnis“ installiert. Diese sind von 2014. Dieses Video von 2012 nutzt ein Motorola-Phone mit spezieller Docking-Station Ubuntu for Android – Two Kinds of Linux On Your Phone

Eine weitere Möglichkeit ist das Andromium und Superbook Projekt. Dieses funktionert mit DisplayLink-Technologie. Im Rahmen dieses Projektes gab es schon verschiedene Lösungen, ein Zitat von der Kickstarter-Seite

Hi, we’re Andromium!

Back in December 2014, we launched the Andromium Dock. Beloved by many, the dock was our first attempt at turning your smartphone into a laptop. However, the Andromium dock had two major limitations:

1. It only worked with a handful of smartphones – Our major display technology at the time was MHL, which was only supported by a few phones.

2. The dock required you to bring your own peripherals – You had to hook up your own monitor, keyboard, and mouse, making it a mess of cords. It was also very difficult to be mobile.

Real talk: yup, we missed our funding goal. But what we gained in the process was an amazing community of loyal and involved users—people like you—who have given us amazing feedback, made their own videos (and videos and videos).

You’ve helped guide us in the right direction, and in response to overwhelming feedback, we created the Superbook. We wouldn’t be here today without you.

Daneben kann man mit dem Android Dock (siehe Hardware hier) sein Phone auch laden, d.h. mit MHL sollte gleichzeitiges laden möglich sein. Weiterhin gab es wohl auch eine Chromecast-Lösung in diesem Projekt. Das Superbook wird wohl hier vertrieben. Siehe auch diesen Quora-Beitrag, sowie Andromium OS im Test: Das Smartphone zum Android-PC machen und auf den Fernseher streamen.

Andere Lösungen sind Microsoft Continuum und Microsoft Display Dock, wobei

Ausführung von Programmen auf die Universal Windows Platform-Apps (UWP) beschränkt, da die klassischen x86- oder x64-Programme von dieser Plattform nicht unterstützt werden.

(wikipedia).

Eine Möglichkeit dies mit dem Samsung S7 habe ich hier zusammengestellt. Da das S7 kein MHL unterstützt nutzt diese Lösung DisplayLink über USB-OTG.

Zum Thema Wireless-Display muss ich mich noch informieren, und inwiefern dass mit Computermonitoren geht (über passene HDMI-„Empfänger“ vielleicht?).

Hier noch ein paar weitere Videos:

Chromecast – How to Setup (Part 2) From an Android Phone or Tablet | H2TechVideos
Andromium Computing Platform Transforms Your Smartphone Into A Desktop PC
Use Android Smartphone as a PC
PCGH Spycam: Smartphone als PC-Ersatz – der Untergang des Abendlandes
Samsung Galaxy Note 2 As A PC Computer (With MHL adapter, Bluetooth Keyboard + Mouse
Part 2: Using an Android Device as a Desktop
How to display your android screen on PC Laptop or mirror your android screen on laptop

Geschafft, drei Songs recorded

Heute die drei Videos von gestern weiter aufgenommen. Aber zufrieden bin ich mit dem Ergebnis noch nicht; aber als IST-Stand lasse ich es erstmal so stehen.

Zum Recording-Prozess. Ich fand das zurechtschneiden in Shotcut etwas umständlich. Aus einem Video mit der kleinen Leiste den Bereich für die Spur auszuwählen empfand ich als recht fummelig und ungenau, und wie ich in der Spur etwas wegschneiden kann (wenn es nicht komplett hinter dem „Abspiel“-Marker liegt) weiss ich nicht. Und bisher weiß ich nur, dass ich ein Video komplett mit Audiospur exportieren muss, und es dann beim neuen einlesen zurechtschneiden kann. Das empfinde ich als recht umständlich. Deswegen habe ich auch einen Forumbeitrag dazu gestartet. Bei „River Flows in You“ habe ich am Ende zuviel weggeschnitten.

Auch der Fad-In und Fade-Out Filter hat irgendwie nicht die Einstellungen übernommen wenn ich die Fade-Dauer erhöhen wollte.

Zum Spielerischen. Bei „River Flows in You“ sind einige Noten zu leise und beim Übergang in die Bridge mache ich eine zu lange Pause. Bei „I don’t want to miss a thing“ habe ich das Ende verhauen, und die Dynamik klingt nicht gut, sowie der Übergang in den zweiten Refrain (wo geslappt wird) ist nicht sauber gespielt (auf der Aufnahme hört man nichts). Bei „Love me like you do“ sind die Harmonics zu leise und teilweise auch ungenau, und der Refrain mit dem Slaps und Wrist-Anschlägen auf den Korpus muss noch flüssiger, genauer und prägnanter werden.

Und ich sollte meine Spielweise mal kritischer Sehen und mit anderen Vergleichen, mir ist z.B. aufgefallen dass ich meine Finger der Greifhand teilweise ganz schön weit weg bewege, sieht man bei „Love me like you do“ ganz gut.

Naja, aber hier die Ergebnisse:
I don’t want to miss a thing
Love me like you do
River flows in you

Und zum Abschluss: Habe bei youtube einfach mal nach „Absolutem Gehör“ gesucht und bin über dieses Video Perfect Pitch: The World’s Greatest Ear!! gestolpert sowie die Methode Nuryl. Klingt interessant.

Erste Gehversuche mit Audio/Videorecording seit 2014


Gestern einen ersten ernsthafen (Video-)Aufnahmeversuch seit langem gestartet. Zunächst mit meinem Smartphone (Nexus 4) und dem Mikrofon T-Bone SC450 (mit Tascam US-144mkII) eine Aufnahme von „River Flows in You“ versucht. Zunächst einmal habe ich dieses Video mit 720p aufgenommen, was aber scheinbar nicht so schlau war (nimmt mit ~25fps auf), siehe diesen Forumsbeitrag nachdem er gegenüber 1080p downsampled. Habe mir für die weitere Aufnahme von „Love me Like you do“ dann die App lgCamera runtergeladen und mit 1080p aufgenommen (wo ich dann auch 30fps habe).

Als Software nutze ich Audacity und Shotcut, mit Shotcut hatte ich einige Probleme reinzukommen, aber jetzt scheint es zu laufen. Zunächst wurden die Videos nicht gerendert, ich hörte zwar die Audiospur, aber das Anzeigefenster war lediglich eine grüne Fläche. Abhilfe schaffte es in den Einstellungen den Reiter „GPU-Verarbeitung (experimentell)“ zu aktivieren. Wobei dieser aber eigentlich als problematisch gilt. Auch war mir der Workflow nicht so vertraut, man muss erstmal die Dateien (Video- oder Audio) als Spuren laden, um sie dann gemeinsam verarbeiten zu können. Und beim exportieren kann man verschiedene Profile wählen (youtube, H.264 High Profile etc) und kann dann noch feinere Einstellungen (z.B. bei mpeg4 von 60% Qualität auf 100% Qualität für keinen Qualitätsverlust) machen.

Ich habe zum Aufnehmen ein Setting mit Gorilla-Pad, Kopfhörer, Spiegel (um dass Handykamerabild zu sehen) und mit einer Drummachine (Monkey drum machine) gewählt, wobei ich „River flows in you“ mit 120bpm und „Love me like you do“ mit 95bpm aufgenommen habe. Zu Beginn habe ich, um die Audio- und Videospuren später einfacher synchronisieren zu können zu Beginn der Aufnahme geklatscht (für weitere Hinweise zur Synchronisation siehe diesen Blogbeitrag, oder diesen Forumbeitrag). Statt einer Drummachine hätte ich auch in Audacity einen gleichmäßigen Click-Sound erzeugen können, diesen hätte ich auch noch leise in die Aufnahme mischen können um mein Spiel später leichter zu analysieren, aber das nur so als Idee.

Nachdem die Aufnahme mit Mikrofon (über Audacity) und Smartphone gemacht wurde habe ich mit Shotcut die Audiospur aus der Videodatei extrahiert (über die Export-Funktion), anschließend habe ich diese extrahierte Spur (als WAV-Datei) ebenso nach Audacity geladen und die Mikrofon-Aufnahme so verschoben dass sie deckungsgleich mit der Spur vom Video läuft (hier habe ich mich am Klatschen orientiert). Anschließend habe ich beide Spuren als Stereospuren verwendet, d.h. jene vom Smartphone auf einem Kanal und die Mikrofon-Aufnahme auf einem anderen. Insgesamt fand ich die Spur vom Smartphone subjektiv gar nicht so viel schlechter wie die Spur vom Kondensatormikrofon, nach einer (auf beiden Spuren getrennt verlaufenden, und auch nur den relevanten Teil einschließenden) Normalisierung und Anwendung des Kompressors war diese etwas leiser, hatte weniger Bass aber war weitaus besser als erwartet. Aber auf einigen Aufnahmen habe ich noch so ein
Hintergrundrauschen was wie Wasser splätschern klingt, aber vielleicht hatte ich hier auch ein anderes Störgeräusch drinnen was dass Mikro nicht aufgenommen hat (PC-Lüfter?), da auf den ersten Aufnahmen mir dieses „Plätschern“ nicht aufgefallen ist (zuerst auf der letzten „Love me like you do“-Aufnahme als ich diese mit Kopfhörern hörte). Jedenfalls habe ich die so bearbeitete Audiospur dann mit dem Video nach Shotcut geladen, wobei eben auf zwei Video- und Audiospuren. Von dem Video habe ich mit dem „Stumm“ (oder „Mute“)-Filter die Spur deaktiviert und anschließend das Video exportiert. Anstatt die Aufnahme vom Smartphone zu benutzen kann ich entweder die Originalaufnahme leicht verschieben, oder eben wie früher zweimal aufnehmen, wobei dann aber ganz genau gespielt werden muss.

Ein weiteres Problem, was aber nur beim ersten Video auftrat (als ich das Gorilla-Pad auf dem Bett stehen hatte, was wohl wegen zuviel Gewackel den „Gleichgewichtssensor“ vom Smartphone durcheinander brachte), war dass es Hochkant im Breitbildformat vorlag. Ich hatte recht viel Zeit damit verbracht dieses Problem zu lösen. Am Ende war die Lösung ganz einfach, ich habe einfach das Rotate-Flag in den Metadaten auf 180 gesetzt mit Hilfe von ffmpeg (diese Programme finden sich im Shotcut-Ordner), genauer dem Befehl:

C:\Programme\Shotcut>ffmpeg.exe -i g:/Aufnahmen/20170218/River/VID_20170218_1727
26.mp4 -c copy -metadata:s:v:0 rotate=180 g:/out3.mp4

Folgender Befehl hat auch geholfen, hat das Video an sich aber konvertiert (und kleiner gemacht)

C:\Programme\Shotcut>ffmpeg.exe -i g:/Aufnahmen/20170218/River/VID_20170218_1727
26.mp4 -vf „transpose=1“ g:/out.mp4

Weitere Links (Bemerkung: Der Befehl „rotate“ hat bei mir mit ffmpeg nicht funktioniert).

Drehen mit VLC
Mit FreeMake (soll aber laut einem Kommentar AdWare enthalten)
Mit Shotcut und ffmpeg-Befehl;

Wenn ich in Shotcut den Rotate-Filter benutzt habe, hat er zwar den Inhalt gedreht, aber die grundsätzlichen Videoausmaße blieben erhalte, wodurch große schware Ränder entstanden sind. Natürlich nicht was ich wollte.

Rotate mp4 videos without re-encoding,
http://superuser.com/questions/578321/how-to-rotate-a-video-180-with-ffmpeg,
Rotating videos with FFmpeg

Weitere Programme und Links: AviDemux (das hatte ich früher benutzt). Eine
Liste auf gute-frage
, eine
weitere Liste
,
Magix Video Sound Cleaning Lab
,
XMedia Recode,
mit Audacity rauschen entfernen,
Video-Lautstärke erhöhen und Ton von Rauschen befreien,
MUXEN mit VirtualDub bzw. VirtualDubMod (dieses Programm habe ich öfters gelesen, aber nicht benutzt),
Audio und Schnitt mit VirtualDub, Vegas Pro
Deutsche Shotcut-Anleitung,
Audio mit Audacity trennen,
Audiospur mit Shotcut bearbeiten,
How to add audio in Shotcut,
Shotcut schneidet HD & 4K Videos kostenlos,
Shotcut Workflow example,
FU Berlin Wiki Audio/Video
Test: Videos schneiden mit Shotcut,
ShotCut: How to Export Video in Full lossless Quality,
Hitfilm 4 Express,
Hochladen für Youtube mit Shotcut
Empfohlene Youtube-Einstellungen
Spuren zusammenfügen in Audacity,
Shotcut guide 1.3,
AviSynth,
VideoHelp

Permutationsgruppen mit eingeschränkten Fixpunktmengen, ein Zwischenbericht.

Hier sammle ich nur einige Gedanken zu derzeit drei Artikeln von Pretzel und Schleichermacher aus den 70ern die ich derzeit „im Schneckentempo“ durcharbeite.

Pretzel & Schleiermacher, On Permutation Group in Which Nontrivial Elements Fix Two Points or None

Lemma 1,2 und 3 nachvollzogen, sowie Theorem 5. Unklar sind noch die beiden charakterbasierten Beweise Lemma 4 und Theorem 6, in Theorem 6 ist mir nicht klar wieso man |G : M| = p und dass p nicht |M| teilt. Der (nicht charakterbasierte) Beweis von Proposition 7 ist mir auch nicht klar, dort wird eine ähnliche Annahme über den Index von M getroffen, und dass man ein g \in G \setminus M der Ordnung p wählen kann (ich denke mal da steckt auch wieder die Annahme dass p nicht |M| teilt). Nur der erste Satz ist mir klar mit dem weiter unten zitierten Fakt, dass die Sylow 2-Untergruppen genau dann normal sind, wenn das Komplement ungerade Ordnung hat.

Ausführlicher Beweis von Lemma 3: Wir müssen zeigen dass für gT \notin C_U(t)T / T gilt (C_U(t)T/T)^{gT} \cap C_U(t)T/T = T/T bzw. dazu äquivalent C_U(t)^gT \cap C_U(t)T \le T für g \notin C_U(t)T bzw g \notin C_U(t) und das C_U(t)T/T selbstnormalisierend ist. Für g \in C_G(t) ist C_U(t)^g = C_{U^g}(t^g) = C_{U^g}(t) und da C_U(t) \cap C_{U^g}(t) \le U \cap U^g folgt mit den Voraussetzungen an U

1 \ne C_U(t) \cap C_{U^g}(t) \Rightarrow U = U^g

d.h. N_G(C_U(t)) \cap C_G(t) \le N_G(U) \cap C_G(t); die umgekehrte Inklusion ist klar. Ist also g \notin N_G(C_U(t)) \cap C_G(t) so folgt U^g \cap U = 1 und damit C_U(t) \cap C_U(t)^g = 1 und weiter ist wegen T \le C_G(t) mit der Dedekind-Identität

N_G(U) \cap C_G(t) = TU \cap C_G(t) = T(U \cap C_G(t) = TC_U(t)

und damit ist C_U(t) eine T-Untergruppe in C_G(t). Faktorisiert man nun T raus so C_U(t)T/T = N_{C_G(t)}(C_U(t))/T, d.h. das Bild von C_U(t) in der Faktorgruppe stimmt mit seinem Normalisator überein. Sei nun x \in C_U(t)T \cap C_{U^g}(t)T für g C_G(t) \setminus N_G(U). Ein Produkt der Form tu \in TU hat wegen (tu)^2 \in U stets gerade Ordnung. Damit ist entweder x \in U \cap U^g, was sofort x = 1 liefert, oder x = tu = t\hat u^g, also u = \hat u^g, und da g \notin N_G(U) folgt ebenso u = \hat u = 1. In jedem Fall ist also \in T. Insgesamt ist damit gezeigt dass C_U(t)T/T ein Frobeniuskomplement in C_G(t)T/T ist.

Allerdings habe ich hier nicht Lemma 2 benutzt (ebenso in meinem Beweis von Lemma 1 (c) habe nicht Frattini benutzt). Den einzigen Normalteiler denn ich sehe ist T \unlhd C_G(t). Nutzt man nun dass C_U(t) eine T-Untergruppe mit T \cap C_U(t) = 1 ist und wendet Lemma 2(b) an so bekommt man dass C_U(t) ein normales Komplement in C_G(t) besitzt. Vielleicht kann man irgendwie zeigen dass C_{C_U(t)} \le T oder eine der anderen äquivalenten Charakterisierungen für Frobeniusgruppen.

Beiträge:

A character on a subgroup could be written as a difference with some character on the whole group, help on argumentation

If U≤GU≤G has odd order, and NG(U)=TUNG(U)=TU with T=⟨t⟩T=⟨t⟩ an involution. Assertions about S=TU∖TUS=TU∖TU.

If NG(U)=TUNG(U)=TU for T=⟨t⟩T=⟨t⟩ with involution tt, and N∩U≠1N∩U≠1, then G=TUNG=TUN and UNUN is Frobenius group

Let NN be maximal normal subgroup with TU∩N=1TU∩N=1, where TU=NG(U)TU=NG(U). Then NN is nilpotent and contains certain involutions.

If T=⟨t⟩T=⟨t⟩ for an involution tt, MM the normal closure of TT, and U∩M≠1U∩M≠1. Then TM=TGTM=TG.

Why do we have these values of the generalized character when evaluated with the scalar product?

Extending a linear character of UU to TUTU, where TT is generated by an involution normalising U

Normal subgroups in group having a t.i. subgroup which has index two in its normalizer

If MM is normal and M∩U=U′M∩U=U′ for some special subgroup UU, then M/G′M/G′ is a Hall-subgroup of G/G′G/G′.

If MM is normal and M∩U=U′M∩U=U′ for some special subgroup UU, then M/G′M/G′ is a Hall-subgroup of G/G′G/G′.

Sonstige Fakten:

Does a Frobenius group with a pp-group complement necessarily have a normal Sylow 22-subgroup?

If gp∈Ugp∈U for subgroup U≤GU≤G, when does this implies that pp divides the order of g

On Permutation Groups Whose Non-Trivial Elements have at Most Three Fixed Points

Kapitel Eins, The centralizer of a Bruck loop, denke ich soweit verstanden zu haben. Hier habe ich ein paar Notizen zusammengefasst, zu den Behauptung dass eine Bruck-Loop Potenzassoziativ ist, und zu dem Beweis von Theorem 1.3.

Zum Kapitel Zwei. Da G_{\alpha} eine Sylow 2-Untergruppe der Ordnung zwei ist gilt C_G(G_{\alpha}) = N_G(G_{\alpha}), also gibt es mit dem Transferlemma von Burnside ein normales 2-Komplement R. Weiter ist wegen |\Omega| = |G : G_{\alpha}| = |R| dieses regulär, und da \alpha^G = \alpha^{G_{\alpha}R} = \alpha^R transitiv, d.h. R ist ein regulärer Normalteiler. Damit operiert der Punktstabilisator auf R durch Konjugation äquivalent wie auf \Omega, hat also genau drei Fixpunkte, d.h. zentralisiert genau drei Elemente.

Im Beweis von Lemma 2.1, im dritten Paragraphen folgen die Aussagen über H (normal, wenn es Untergruppe wäre) aus G = HT. Das ist nicht ganz einfach zu sehen, siehe:

If GG has odd order, and an automorphism of order 22 centralizing precisely 33 elements, then G=CG(α)⋅{h:hα=h−1}G=CG(α)⋅{h:hα=h−1}.

Weiter ist G = \bigcup_{h \in H} hT disjunkt und H \cap T = 1; denn t \in T\cap H ist äquivalent mit t = t^{-1}, also t^2 = 1, aber T ist zyklisch von der Ordnung drei. Der Rest des Beweises ist mir nicht klar, da hier Sätze über Loops diesem Paper, Glaubermann: On loops of odd order zitiert werden und auch Charaktertheorie eingesetzt wird.

Kapitel Drei, Some known results. Es ist C_G(S) \unlhd N_G(S), entweder indem man sieht dass der Zentralisator der Kern der Abbildung ist welche jedes Element aus N_G(S) auf den durch Konjugation realisierten Automorphismus wirft, oder man rechnet direkt nach:

sg^{-1}xg = g^{-1}\hat sxg = g^{-1}x \hat s g = g^{-1}x g s'

und es ist s = s', da \hat sg = gg^{-1}\hat g = gsg^{-1}g = gs. Siehe auch:

Prove that the centralizer is a normal subgroup. [duplicate]
Prove that the centralizer subgroup is normal in the normalizer subgroup

Das G_1 = \langle a^3, b, c \rangle eine elementarabelsche Gruppe vom Index drei ist muss ich noch nachrechnen. Zu Satz 3.3., der im Beweis steht dass die Gruppen aus für die Ausnahmegruppe maximale Klasse haben (und damit nicht elemetarabelsch) oder metazyklisch sind. Der Beweis von Satz 3.4. ist mir nicht richtig klar, inbesondere der 2. Abschnitt, warum T = M \cap S z.B. metazyklisch or eine drei-Gruppe maximaler Klasse sein soll. Was mir klar ist. Das S/S' elementar-abelsch ist, denn wäre es zyklisch so wäre wegen S' \le \Phi(S) auch S / \Phi(S) zyklisch, und damit würde S selbst nur von einem Element erzeugt, mithin wäre es abelsch, was aber aufgrund der maximalen Klasse (bei dem Argument müsste man aber noch |S| = 9 und abelsch ausschließen, diese Gruppen sind abelsch und haben demnach Klasse eins, aber weil der Exponent zwei ist dennoch maximale Klasse) nicht sein kann.

Zu Satz 3.5. Ich glaube erstmal statt \mbox{det}(A) = 1 sollte da \mbox{det}(A) \ne 0 stehen, ich sehe z.B. nicht warum die Matrix

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

ausgeschlossen sein sollte, den die Abbildung \varphi(a) = a^{-1}, \varphi(b) = b, \varphi(c) = c
ist ein Automorphismus, denn jedes Element hat ein Urbild (surjektiv), die Homomorphiebedingung gilt nach Definition durch lineare Ausdehnung, und injektiv ist es als surjektive Abbildung auf einer endlichen Menge. Siehe

Automorphisms of non-abelian groups of order 27
Classify groups of order 27
Automorphisms of non-abelian groups of order p^3

im ersten Beitrag wird auch gesagt die Determinante muss nur ungleich Null sein. Das die Homomorphiebedingung gilt ist einfaches nachrechnen, da mit der gewählten neuen Verknüpfung die Gruppe abelsch ist, und es sich wie in einem Vektorraum nachrechnet durch einsetzen. Achso, warum jedes Automorphismus \varphi(a) \in \langle a \rangle folgt da mit den Relationen a im Zentrum liegt, und da G nicht abelsch ist G / Z(G) nicht zyklisch, also |Z(G)| = 3 und wird damit von a erzeugt.

Let GG be a permutation group and R⊴GR⊴G. If GG acts double-transitive on the orbits of RR, then G/R≅A5G/R≅A5 and we have 55 RR-orbits

If Gα≅S4Gα≅S4 and |fix(g)|∈{0,3}|fix(g)|∈{0,3} for g≠1g≠1. Then GG has transitive normal subgroup of index 22.

For a new operation on a finite group of odd order giving a loop structure, when does this also gives a group

Show that |CG(u)|=12|CG(u)|=12 by “counting involutions”

If G=VNG=VN, VV a four group and NN regular normal, then there exists some Sylow subgroup left invariant by V

If GG acts such that fix(g)∈{0,3}fix(g)∈{0,3} for g≠1g≠1, and stabilizers are t.i. subgroups, then the Sylow 33-subgroups have maximal class

Sonstige Fakten:

Do solvable groups have elementary abelian characteristic subgroups?

Die folgenden Beiträge beweisen allesamt, dass wenn N \mbox{ char } G und A / N \mbox{ char } G / N, dass dann auch A \mbox{ char } G. Die verlinkten Beweise nutzen das Korrespondenzprinzip von Normalteilern in Faktorgruppen und der Ausgangsgruppe (auch manchmal 4ter Isomorphiesatz genannt). Aber ich denke man kann es auch direkt beweisen. Sei \varphi : G \to G ein Automorphismus von G. Da \varphi(N) = N ist die Abbildung \overline \varphi(gN) := \varphi(g)N wohldefiniert, denn \varphi(gn) = \varphi(g)\varphi(n) \in \varphi(g)N, d.h. andere Repräsentanten, welche sich nur um ein Element aus N unterscheiden, haben das gleiche Bild. Weiter ist \overline \varphi : G / N \to G/N injektiv, denn

\overline \varphi(gN) = \overline \varphi(hN) \Leftrightarrow \varphi(gh^{-1}) \in N \Leftrightarrow gh^{-1} \in N \Leftrightarrow gN = hN

und surjektiv, denn wählt man zu gN ein h \in G mit \varphi(h) = g so ist \overline \varphi(hN) = \varphi(h)N = gN. Sei nun N \le A (dass N \le A ist wichtig, siehe die verlinkten Beiträge, bzw. dass man ein volles Urbild von den Faktorgruppen nimmt) und a \in A. Dann folgt \varphi(a)N = a'N da A/N charakteristisch in G / N, also \varphi(a) = a'n \in A,
und damit \varphi(A) \le A.

Question on Proof that Op(C/(C∩F(G))=1Op(C/(C∩F(G))=1 for C=CG(F(G))C=CG(F(G)).
Question about characteristic subgroups
Example such that HN/N char G/NHN/N char G/N and N char GN char G, but HH not characteristic in G

Noch eine kurze Notiz. Ist N \unlhd G so folgt AN/N \cap BN/N = (AN \cap BN)/N, oder mit der Projektionsabbildung \pi : G \to G/N dass \pi(A) \cap \pi(B) = \pi(AN) \cap \pi(BN) = \pi(AN \cap BN) mit N = \mbox{ker}(\pi)., d.h. für Untergruppen welche N enthalten ist die Projektionsabbildung unter Schnitt abgeschlossen, siehe auch hier die Isomorphiesätze. Dies finde ich bemerkenswert da für allgemeine Abbildungen kein Abschluss unter Schnitt gilt, dies ist sogar für allgemeine Abbildungen eine charakterisierende Eigenschaft für Injektivität, siehe hier für einen Sammelthread. Aber im Allgemeinen ist \pi(A\cap B) \ne \pi(AN) \cap \pi(BN), siehe zum Beispiel hier. Insbesondere müssen Komplemente in der Faktorgruppe keine Komplemente mehr sein.

Für einen Beweis, sei N \le A,B. Die Inklusion \pi(A\cap B) \le \pi(A) \cap \pi(B) gilt immer. Für die andere sei \pi(a) = x = \pi(b). Dann ist \pi(ab^{-1}) = 1, also ab^{-1} \in N und damit folgt, da N in beiden Untergruppen enthalten, a \in B, b \in A, d.h. x ist Bild mindestens eines Elementes aus A \cap B.

On Permutation Groups in Which Non-Trivial Elements have p Fixed Points or None

If GG acts such that fix(g)∈{0,p}fix(g)∈{0,p} for g≠1g≠1 and N⊴GN⊴G. Then every element outside of NN fixes at most pp NN-orbits.

Properties of point stabilizers of PSL(2,q)

If GG acts so that fix(g)∈{0,p}fix(g)∈{0,p} for g≠1g≠1. Conditions such S∈Sylp(G)S∈Sylp(G) has maximal class.

If GG acts such that fix(g)∈{0,p}fix(g)∈{0,p} for g≠1g≠1, MM maximal with |G:M|=p|G:M|=p, then |M/L|=p|M/L|=p for semiregular L⊴GL⊴G.

If GG is solvable and acts such that fix(g)∈{0,p}fix(g)∈{0,p} for g≠1g≠1 and MM maximal, why is NM(Mα)∈Sylp(M)NM(Mα)∈Sylp(M)?

The uniqueness of the Frobenius representation as handled in textbooks, for example Kurzweil/Stellmacher

The kernel of an action on the orbits of normal subgroup if group acts such that fix(g)∈{0,p}fix(g)∈{0,p} for g≠1

The kernel of an action on blocks, specifically the action on the orbits of normal subgroup

If GG acts such that fix(g)∈{0,p}fix(g)∈{0,p} for g≠1g≠1 and N⊴GN⊴G. Then GαNGαN is normal if we have pp orbits of NN.

If GG is solvable and acts such that fix(g)∈{0,p}fix(g)∈{0,p} for g≠1g≠1 and MM is maximal normal. Then |G/M|=p|G/M|=p.

What does it mean that the Frobenius representation of a group is unique, and what are its consequences

If GG is solvable and acts such that fix(g)∈{0,p}fix(g)∈{0,p} for g≠1g≠1, then maximal normal subgroups are Frobenius groups

What does it mean to say a single element acts semi-regularly

If GG acts such that fix(g)∈{0,p}fix(g)∈{0,p} for g≠1g≠1 and N⊴GN⊴G. Then GG acts on the NN-orbits in the same way.

If GG acts such that each nontrivial element fixes exactly nn points or none, then |Ω|≡n(mod|Gα|)

Extension of A6A6 by outer automorphism of S6

Action of normal subgroup and relation of point stabilizers to normal subgroup

Reasoning about subgroups H≤PSL(2,q)H≤PSL(2,q) based on knowledge about subgroups of normalizers in it

Proof that solvable permutation group whose fixed point set is restricted contains regular normal subgroup or Frobenius group on orbits

Properties of group acting such that each non-trivial element fixes no point or exactly pp points

The order of the normalizer of Sylow subgroup in PSL(2,q)

If GG acts such that each non-trivial element either has no fixed point or exactly two, then there exists fixed-point free involutory map on Ω

Theorem about non-regular group action, where an element fixes no points or exactly pp points

Constructing a group which has fixed-point free element and element with exactly nn fixed points